© Błażej Kochański. Artykuł udostępniony na licencji CC BY-SA 4.0
Celem artykułu jest przedstawienie i uzasadnienie interpretacji klasycznego współczynnika kurtozy jako miary grubości ogonów oraz zaproponowanie modyfikacji treści dydaktycznych w tym zakresie. W wielu polskich podręcznikach akademickich podaje się, że współczynnik kurtozy (lub ekscesu) mierzy „wysmukłość”, „spiczastość” lub „spłaszczenie” rozkładu. Taka interpretacja jest nieprawidłowa. Kurtoza mierzy bowiem w istocie stopień rozproszenia wartości cechy w ogonach rozkładu lub – innymi słowy – intensywność wartości skrajnych. W artykule wskazano, dlaczego starsze interpretacje, mówiące o kształcie wierzchołka krzywej gęstości, są niewłaściwe. Zaprezentowano przykładowe leptokurtyczne rozkłady spłaszczone i platykurtyczne rozkłady wysmukłe. Na podstawie danych z Diagnozy Społecznej z lat 2000–2015 wykazano, że w badaniach empirycznych wartość kurtozy wynika ze stopnia natężenia wartości odstających. Zaproponowano nowe sformułowania, które można wykorzystać w dydaktyce statystyki zamiast nieprawidłowych, stosowanych dotychczas.
kurtoza, eksces, rozkład leptokurtyczny, rozkład platykurtyczny, spłaszczenie rozkładu, wysmukłość rozkładu, spiczastość rozkładu
A20, C18, C46
Aczel, A. D., Sounderpandian, J. (2018). Statystyka w zarządzaniu. Wydawnictwo Naukowe PWN.
Campbell, J. Y., Lo, A. W., MacKinlay, A. C. (1997). The Econometrics of Financial Markets. Princeton University Press.
Daníelsson, J., Jorgensen, B. N., Samorodnitsky, G., Sarma, M., de Vries, C. G. (2013). Fat tails, VaR and subadditivity. Journal of Econometrics, 172(2), 283–291. https://doi.org/10.1016/j.jeconom.2012.08.011.
Dębski, W. (2014). Rynek finansowy i jego mechanizmy. Podstawy teorii i praktyki. Wydawnictwo Naukowe PWN.
Fiori, A. M., Zenga, M. (2009). Karl Pearson and the Origin of Kurtosis. International Statistical Review, 77(1), 40–50. https://doi.org/10.1111/j.1751-5823.2009.00076.x.
Górecki, B. R. (2013). Ekonometria. Podstawy teorii i praktyki. Wydawnictwo Key Text.
Hogg, R. V. (1974). Adaptive Robust Procedures: A Partial Review and Some Suggestions for Future Applications and Theory. Journal of the American Statistical Association, 69(348), 909– 923. https://doi.org/10.2307/2286160.
Hogg, R. V., Lenth, R. V. (1984). A review of some adaptive statistical techniques. Communications in Statistics – Theory and Methods, 13(13), 1551–1579. https://doi.org/10.1080/03610928408828779.
Horn, P. S. (1983). A Measure for Peakedness. The American Statistician, 37(1), 55–56. https://doi.org/10.1080/00031305.1983.10483090.
Joanes, D. N., Gill, C. A. (1998). Comparing measures of sample skewness and kurtosis. Journal of the Royal Statistical Society: Series D (The Statistician), 47(1), 183–189. https://doi.org/10.1111/1467-9884.00122.
Kaplansky, I. (1945). A common error concerning kurtosis. Journal of the American Statistical Association, 40(230), 259–259. https://doi.org/10.2307/2280139.
Kurtosis: Difference between revisions. (2019, 6 grudnia). W: Wikipedia. https://en.wikipedia.org/w/index.php?diff=929535964&oldid=928282329&title=Kurtosis&type=revision.
Livesey, J. H. (2007). Kurtosis provides a good omnibus test for outliers in small samples. Clinical Biochemistry, 40(13–14), 1032–1036. https://doi.org/10.1016/j.clinbiochem.2007.04.003.
Maksimowicz-Ajchel, A. (2007). Wstęp do statystyki. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego. https://doi.org/10.31338/uw.9788323527909.
Mandelbrot, B. (1963). The variation of certain speculative prices. The Journal of Business, 36(4), 394–419. https://web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/341Fa09/econ/Mandelbroit_VariationCertainSpeculativePrices.pdf.
Pearson, K. (1905). “Das Fehlergesetz und Seine Verallgemeinerungen Durch Fechner und Pearson.” A Rejoinder. Biometrika, 4(1–2), 169–212. https://doi.org/10.2307/2331536.
Rada Monitoringu Społecznego. (2015). Diagnoza Społeczna [zbiór danych]. Pobrane 28 marca 2022 r. z http:/www.diagnoza.com.
Schiffler, R. E. (1988). Maximum Z-Score and outliers. The American Statistician, 42(1), 79–80. https://doi.org/10.1080/00031305.1988.10475530.
Schmid, F., Trede, M. (2003). Simple tests for peakedness, fat tails and leptokurtosis based on quantiles. Computational Statistics & Data Analysis, 43(1), 1–12. https://doi.org/10.1016/S0167-9473(02)00170-6 .
Sobczyk, M. (2007). Statystyka. Wydawnictwo Naukowe PWN.
Taleb, N. N. (2009). Errors, robustness, and the fourth quadrant. International Journal of Forecasting, 25(4), 744–759. https://doi.org/10.1016/j.ijforecast.2009.05.027.
Taleb, N. N., Goldstein, D. G. (2012). The problem is beyond psychology: The real world is more random than regression analyses. International Journal of Forecasting, 3(28), 715–716. https://doi.org/10.1016/j.ijforecast.2012.02.003.
Wagner, W., Mantaj, A. (2014). Zasady statystyki jedno- i dwuwymiarowej. Metodyka, teoria i zastosowania (t. 1). Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie, Wydawnictwo Oświatowe „Fosze”.
Weisstein, E. W. (b.r.). Kurtosis Excess. Pobrane 28 marca 2022 r. z https://mathworld.wolfram.com/KurtosisExcess.html.
Westfall, P. H. (2014). Kurtosis as Peakedness, 1905–2014. R.I.P. The American Statistician, 68(3), 191–195. https://doi.org/10.1080/00031305.2014.917055.
Wiktorowicz, J., Grzelak, M. M., Grzeszkiewicz-Radulska, K. (2020). Analiza statystyczna z IBM SPSS Statistics. Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego.
